1926. március 25-én született Budapesten. Gépkocsivezető édesapja zenére, hegedülni taníttatta, de mivel maga is bokszolt, gyakran vitte fiát ökölvívó mérkőzésekre. Laci tizenegy évesen vesztette el apját, a család ezután kis élelmiszerüzletükből tartotta fenn magát. A zenével felhagyott, inkább a labdarúgás érdekelte, s barátaival le-lejártak ökölvívó edzésekre. A sikerek azonban nem jöttek, így felhagyott a boksszal, életében csak a második világháború után került ismét előtérbe a sport.
1945 és 1956 között a BVSC, a Bp. Lokomotív, a Bp. Bástya és a Vasas bokszolójaként közép-, majd nagyváltósúlyban hét országos bajnokságot nyert. Amatőrként 193 mérkőzésből 183-at nyert meg 2 döntetlen és 8 vereség mellett, 1949-ben középsúlyban, 1951-ben nagyváltósúlyban lett Európa-bajnok. Az 1948-as londoni ötkarikás játékokon középsúlyban, 1952-ben Helsinkiben és 1956-ban Melbourne-ben nagyváltósúlyban győzött, így ő lett az első ökölvívó az újkori olimpiák történetében, aki három aranyérmet szerzett. (Erre a bravúrra azóta csak a kubai Teofilo Stevenson és Felix Savon volt képes). Felkészülését Adler Zsigmond irányította, aki mindig tudta, milyen utasításokkal kell a kötelek közé küldenie tanítványát, mesterével feltétlenül megbíztak egymásban.
Papp László (vagy ahogy egy egész ország emlegette, Papp Laci) 1957-ben állami engedéllyel profi ökölvívó lett. A hivatásosok között 29 mérkőzéséből 27-et nyert meg, ebből 11 volt kiütés, 12 pontozásos győzelem és 4 technikai K.O. Két mérkőzése zárult döntetlenül, ezek közül az egyiken hét menetet törött kézzel bokszolt végig, azaz veretlen maradt. Egy angol ökölvívó elleni diadala után a londoni parlamentben egy képviselőnő szóvá tette: miért adnak a tévében olyan meccset, ahol egy angolt ennyire megvernek - megjegyzendő, hogy a magyar televízió a 29 mérkőzésből mindössze egyet közvetített.
Papp a hivatásosok között 1962-ben Európa-bajnoki címet is szerzett, amit hatszor védett meg. 1964-ben esélye nyílt arra, hogy a profi világbajnoki címét léphessen szorítóba, de a sportvezetés máig nem tisztázott, politikai okokból ezt nem engedte, s pályafutása befejezésére kényszerítette; ezt a méltánytalanságot soha nem tudta kiheverni. 1989-ben a WBO profi ökölvívó szervezettiszteletbeli világbajnokká nyilvánította és átadta neki az övet, elismerve, hogy nincs nála méltóbb tulajdonosa. A KO-királynak nevezett Papp, akinek legfélelmetesebb fegyvere a rettegett balhorog volt, a sportszerűség példaképe volt, egyik profi ellenfele a "ring lovagjának" nevezte.
Visszavonulása után edzőként dolgozott, 1969-ben mesterével, Adler Zsigmonddal a válogatott vezetését vették át. Új edzésmódszert, személyre szabott versenyeztetést és kemény edzésmunkát vezettek be, tanítványaiktól a magánéletben is sportemberhez méltó magatartást követeltek, s olyan kiváló bokszolókat neveltek, mint az 1972-ben olimpiai bajnoki címet szerző Gedó György, Badari Tibor, Kajdi János. Papp László rövid ideig saját boksziskolát is működtetett, élete utolsó évtizedében - amíg egészsége engedte - edzőként sportegyesületeknek segített.
1982-ben NOB Érdemrenddel tüntették ki, 1991-ben a magyar Halhatatlanok Klubjának tagja, 1992-ben a Magyar Ökölvívó Szövetség örökös tiszteletbeli elnöke lett. Példaszerű sportkarrierje elismeréseként 1993-ban Nemzetközi Fair Play-díjjal tüntették ki. Megkapta az Olimpiai Érdemrendet, a Magyar Köztársasági Érdemrend Középkeresztjét (1996), valamint a Millenniumi Ezüst Emlékérmet (2001). 1999-ben a világ sportújságírói a világ 25 legjobb sportolója közé választották, 2001-ben bekerült a Nemzetközi Ökölvívó Hírességek Csarnokába, a 20. század harmadik legjobb magyar férfi sportolója címmel tüntették ki, megkapta a Csík Ferenc-díjat, valamint Budapest és a XIII. kerület díszpolgára lett.
Minden idők egyik legnagyobb magyar sportolója hosszú, súlyos betegség után 2003. október 16-án, 77 évesen hunyt el Budapesten.
A legendás bokszolóval 1957-ben játékfilmet forgattak Nehéz kesztyűk címmel, életéről több film készült (Pofonok völgye, avagy Papp Lacit nem lehet legyőzni; Paplaci) és több könyv is jelent meg (Kiütéssel győzött; Papp Laci; Édesapám, Papp Laci). 2004 óta az ő nevét viseli a Budapest Sportaréna, emlékét dombormű őrzi a budapesti Kassák Lajos utca 48. számú ház falán, ahol gyermekkorát töltötte. A páratlan tehetségű és emberségű bokszoló humoráról és rendkívüli szerénységéről is híres volt, s egy ország csak a keresztnevén ismerte. Külföldön is legismertebb magyar sportolók egyike, akit az ökölvívás legnagyobbjai közt tartanak számon. A Fővárosi Közgyűlés 2009-ben Papp László Budapest-Sportdíjat alapított, amelyet minden évben november 17-én, Pest, Buda és Óbuda egyesítésének évfordulóján adnak át.